Определитель квадратной матрицы

Каждой квадратной матрице A порядка n с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число D, которое называется определителем матрицы А. Общее выражение для определителя матрицы n-го порядка обычно дается в виде:

det[A] =

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann

= Σ(-1)e a1α1a2α2. . . anαn     (1)

В правой части стоит сумма произведений вида a_1α1a_2α2. . . a_nαn Каждое такое произведение по определению должно содержать элементы матрицы a_ij расположенные в различных строках и различных столбцах. Иначе говоря, содержащее по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Это значит, что среди всех первых индексов, как и среди всех вторых индексов не должно быть одинаковых.
Если расположить первые индексы в порядке их возрастания, как это сделано выше, то совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку (α₁, α₂, ..., α_n) множества чисел от 1 до n. Так как число всех перестановок из n чисел равно n! (n факториал), то можно образовать такое же количество; произведений a_1α1a_2α2. . . a_nαn из элементов данной матрицы (при нулевых элементах некоторые из них равняются нулю). Определитель равен сумме всех таких произведений, взятых со знаком (-1)^e где е - число инверсий перестановки вторых индексов (α₁, α₂, ..., α_n). Вместо множителя (-1)^e можно писать знак sgn(α), который положительный для четного числа инверсий и отрицательный для нечетного числа инверсий в перестановке номеров вторых индексов (α₁, α₂, ..., α_n).
Порядок определителя совпадает с порядком его матрицы. Элементы a_ij матрицы А называют также элементами определителя |А|, а произведения (-1)^ea_1α1a_2α2. . . a_nαn -членами определителя.

Из общего правила вычисления определителя легко получить частные формулы для вычисления определителей любого порядка. Так для определителя 2-го порядка получаем следующую формулу:

det[A] =

a11 a12 a21 a22

= a11a22 - a12a22     (2)

Аналогично для определителя 3-го порядка :

det[A] =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a32

= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 -a13a22a31 -a11a23a32 -a12a21a33      (3)

Как видно, индексы столбцов всех членов определителя третьего порядка определяются перестановками (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3), число инверсий которых равно соответственно 0, 2, 2, 3, 1, 1. Общее выражение определителя n-го порядка является удобным для исследования и доказательства его свойств, но для "ручного" вычисления определителей используются другие более практичные методы, основанные на свойствах определителей.

Миноры и алгебраические дополнения

Если D = |A| - определитель порядка n, то минором M_ij элемента а_ij называют определитель порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Под алгебраическим дополнением A_ij элемента а_ij понимают минор M_ij, домноженный на (-1)^i+j, т.е. A_ij = (-1)^i+jM_ij

Например для определителя 3-го порядка:

D =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a32

Минор элемента а23 будет M23 =

a11 a12 a31 a32

Алгебраическим дополнением элемента а₂₃ будет A₂₃= (-1)²⁺³M₂₃= (-1)⁵M₂₃= -M₂₃
а для элемента а₁₃ , A₁₃= M₁₃ и т.п.

Теорема разложения

Если D = |A| - определитель n-го порядка, то

D =

n Σ i=1

aikAik

=

n Σ i=1

akiAki

n Σ i=1

aikAim

=

n Σ i=1

akiAmi = 0,  для k неравного m

т.е. сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения равна значению определителя. Сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (или другого столбца) равна нулю:

Основные свойства определителей

Прежде всего отметим, что det[A] = det[A]^t, т. е. определитель матрицы не изменяет своего значения при взаимной замене ее строк и столбцов. Поэтому все свойства определителя, сформулированные для столбцов, справедливы и для строк, и обратно.

Ниже приводятся основные свойства определителей, которые легко доказываются на основе общего выражения (1).

1. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметрии).

2. Определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь столбца равны нулю или если один из столбцов является линейной комбинацией любых его других столбцов (в частности, определитель, у которого хотя бы два столбца одинаковы, равен нулю).

3. Умножение всех элементов какого-нибудь столбца на скаляр k равнозначно умножению определителя на k (общий множитель элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя).

4. Умножение матрицы n-го порядка на скаляр k соответствует умножению ее определителя на kⁿ, т.е.
det(k[A]) = kⁿdet[A].

5. Значение определителя не изменится, если к какому-нибудь столбцу прибавить другой столбец, умноженный на скаляр k.

6. Если два определителя одинаковых порядков различаются между собой только элементами j-го столбца, то их сумма равна определителю, элементы j-го столбца которого равны суммам соответствующих элементов j-х столбцов исходных определителей, а остальные элементы те же, что у исходных (свойство линейности).

Вычисление определителей

Значение определителя 2-го порядка легко вычисляется по определению используя формулу (2). Для нахождения значения определителя 3-го порядка можно использовать формулу (3). Определители более высоких порядков в принципе тоже можно было бы вычислять по определению, однако это требует очень больших усилий. Чаще поступают следующим образом: определитель n-го порядка сводят к опреде-лителям (n-1)-го порядка, последние - к определителям (n-2)-го порядка и т. д., до тех пор, пока, наконец, не получат определители 3-го или 2-го порядка. В основе этого принципа "постепенного понижения порядка" лежит теорема разложения: определитель n-го порядка D записывается в виде суммы определителей порядка (n-1) ("раскладывается по элементам i-й строки или j-го столбца"); к каждому из этих определителей порядка n-1 вновь может быть применена теорема разложения.

Если все элементы а_ik i-й строки определителя D, кроме одного, равны нулю, то сумма, полученная после применения теоремы разложения, содержит только одно отличное от нуля слагаемое. Таким образом, вычисления существенно упрощаются, если перед разложением определителя по элементам i-й строки как можно больше из них будут превращены в нули. Это становится возможным благодаря применению свойств определителей (особенно свойства 5).

Еще удобнее оказывается вычисление определителя, если, применяя его свойства, можно преобразовать его так, чтобы все элементы, стоящие слева и ниже диагонали а₁₁ , а₂₂, ..., а_nn были равны нулю. Как легко понять на основании теоремы разложения, значение определителя получается тогда просто как произведение членов, стоящих на главной диагонали:   D = a₁₁a₂₂.. .а_nn .