Умножение матриц

По многим соображениям операцию умножения матриц целесообразно определить следующим образом: произведением матрицы A размера (m x n) на матрицу B размера (n x r) является матрица C = AB размера (m x r), элемент c_ij которой, расположенный в ij-клетке, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B,т.е.
Умножение A на B допустимо (произведение AB существует), если число столбцов A равно числу строк B (в таких случаях говорят, что эти две матрицы согласуются по форме). Пример:

Для матриц А(m х n) и В(n х m) существует как произведение АВ размера (m х m), так и произведение ВА размера (n х n). Ясно, что при m неравном n эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при m = n, т. е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения АВ и ВА не обязательно равны между собой. Например, для матриц

имеем:

Отсюда следует, что вообще операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону (АВ неравно ВА), Если же выполняется соотношение АВ = ВА, то матрицы А и В называют коммутирующими или перестановочными.

Ассоциативный и дистрибутив­ный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции:
(АВ)С = А(ВС) = ABC   (ассоциативность),
А(В + С) = АВ + АС      (дистрибутивность умножения слева относительно сложения)
(А + В)С = АС + ВС      (дистрибутивность умножения справа относительно сложения).

Умножение (m x n)-матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изме­няет этой матрицы, т. е. Е_mА = АЕ_n = A.

Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу. Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере: